向量

向量的加减法,标量积(点乘)和向量积(叉乘)。本页面介绍的内容是 Physclips多个多媒体课程的背景,包括最初介绍的 匀加速运动圆周运动.

 

cartoon of man looking for his bag 向量的大小和方向

    让我们从位移这个向量开始讨论向量的概念。一个向量是由其大小和方向共同决定的。如果我把一个包往北移动10米,这个包所在的位置相比我把这个包向东移动10米的位置,显然是不同的。当我去找这个包的时候就会注意到这点。

    位移的大小呢,就是物体离开初始位置的距离——在我上面的例子中就是10米。位移的方向可以用任何简便的形式来表示。下面是一些向量的例子:

    • 向北10米(位移)
    • 15公里每小时,直指目标(速度)
    • 9.8 m.s−2 向下(加速度)

    方向呢,有时候是用东南西北和上下来表示的。我们也用“从圆心沿着半径向外”和“平行于原来方向”等来表示。而在许多物理问题中,我们会定义轴系统并用他们来表示方向。

    为了标明向量,有些书用粗体来表示。手写中,我们通常加下划线。在这里我们两种方法都会使用。符号 r 通常用来表示位移,就像 v 用来表示速度, a用来表示加速度。

一个例子

    graph of vector (x,y) = (2,1) 让我们考虑x,y平面中的一个位移。假设我把一个物体从初始点(0,0)移到点(2.0,1.0),单位是米。图中紫色箭头显示了位移。我们把这段位移叫做r.

    大小(或模)和方向:我们把它移动了多远呢?根据毕达哥拉斯定理,移动的距离是 ((1.0 m)2 + (2.0 m)2)½ = 2.2 m。我们朝着哪个方向移动了它呢?我们可以用多种方式来描述,包括这个:沿x轴(正方向)转θ角。根据三角关系,tan θ = 1.0/2.0,所以θ = 27。换句话,我们可以这样描述

      r  =  沿x轴转27+2.2 米。
    如果我们的y和x轴是地图上的北和东的话,我们也可以这样说 r  =  东向北27+2.2米。

    请注意,在这两个描述中,我们都给出了 大小(或模)和方向。这是必须的,因为 r 是向量,它有模和方向。在等式的左边有两个内容,所以等式右边也必须有两个。

    写向量的模时,我们就简单地使用普通字体。在这个例子中,请注意区别

      r  =  2.2 米,
      r  =  沿x轴转27°+2.2 米。
    有时候我们也把向量的模写成这种形式: r  =  |r|   (=  r的模).

分量

单位向量

三维向量

向量的加减法

相对运动和坐标系的移动

sketch of cyclist in a headwind

    顶风什么感觉?

      假设风从东边吹过来(即向西吹),速度为5 m.s−1。因此风相对地面的速度是 vw = 5 m.s−1 向西。如果你以10 m.s−1 的速度向东骑自行车(即 vb = 10 m.s−1 向东),那么风 相对你的速度是多少?顶风时你所感觉到的吹在脸上的风有多强呢?

      风相对地面的速度, vw 通常称为真实速度,风相对地面上移动物体的速度称为视速度, vaw。所以这个问题也可以这样表述:视速度是多少?或者说在一个同你一起移动的坐标系中风速 vaw是多少?

      答案很简单:风相对你以 vaw 的速度移动,你相对地面以 vb的速度移动,所以真实风速是:

        vw  =  vaw + vb .    所以:
        vaw  =  vwvb.
      在骑自行车向东而风向西吹的实例中,我们可以把风的速度写作
        vw  =  5 m.s−1 向西  =  − 5 m.s−1 向东

      所以骑自行车顶风时的风速是15 m.s−1 ——这个答案相信你在心里就已经算出来了。

sketch of cyclist in a crosswind

    侧风什么感觉?

      如果你往北移动,而风来自东边,速度和之前的实例相同,那感觉又会如何?然后视速度又是多少呢?

      这里用和之前实例中相同的颜色来表示。在这个三角形中,计算顶角:tan−1vw/vb。注意如果vw < vb,通常是这样的,则由于侧风引起的视速度会非常接近顶风时的视速度,正如这个实例。

      骑行者经常说“顺风很少,下坡顺风更是不可能发生的。”你能用向量减法来解释这句话吗?

      速度的加减对于水手来说也是非常重要的。首先因为船相对水的速度加上水相对地面的速度才是船相对地面的速度。而且,船上测得的风速,是 “真实速度”(也就是风相对地面的速度)减去船相对地面的速度。见 航海物理 中的实例。 也可以看 传送带上的飞机

vectors in moving and stationary frames

不同体系中的位置,速度和加速度

    这里让我们讨论更一般的情况:假设一个质点在一个固定在地面上的体系中的位置为r 。如果让这个体系相对地面匀速运动,相对地方面位置为 rf。所以该体系的移动速度是 vf = drf/dt。把这个质点在移动的体系中的位置称为 r',所以

      r  =  rf + r' .
    考虑到在这两个体系中测得的时间是同步的(细节见相对论),我们可以对两边进行求导,
      v  =  dr/dt  =  drf/dt + dr'/dt  = vf + v' ,   或      v'  =  v − vf ,

    v'是移动体系中测得的速度(虚线表示的体系)。对时间再求导
      a  =  dv/dt  =  dvf/dt + dv'/dt  = af + a' ,
    a'是移动体系中测得的加速度。但是,我们假设移动体系是匀速运动的,所以 a'是零,因而
      a = a
    在两个体系中如果我们发现力是相同的,那么我们就知道,由于我们假设加速度是相同的,所以运动定律是相同的。这会涉及到相对论的话题,不管是伽利略形式还是爱因斯坦形式,在这个链接中我们将更详细地讨论。


向量的标量积(点乘)

向量的向量积(叉乘)

sketch of spanner with force F applied at displacement r

    考虑一个距离轴心为r的力 F所产生的扭矩 τ。(请见 Physclips 转动章节。) 这个扭矩的大小正比于r和F,因此我们又需要两个向量的积。扭矩τ的大小同样正比于sin θ, 这里θ是 rF之间的夹角。 (注意,这两个实例中我们都需要用到sin θ,而标量积中用到cos θ)。扭矩 τ 是一个向量:方向不同的扭矩通常导致沿不同轴发生的转动。扭矩的方向(通常但不总是平行于转动轴)垂直于 rF

sketch of a cross b

    所以我们 定义向量积
      |a X b|  =  ab sin θ,而
      a X b 的方向是在右手系中的垂直于 ab的方向。

      a X b 读作“ab”。

       

sketch of a cross b
    “右手系”是必须说明的,因为垂直于 ab的方向有两个方向。因此,如果让你右手的大拇指指向 a的方向,食指指向 b的方向,那么中指所指的方向就是 a X b的方向。除非你的手指特别灵活,否则大拇指和其他两个手指只能保持一种相互垂直的状态。
    另一种定义方向的方法则不需要用到手,即用螺丝刀来拧螺丝,螺丝刀的刀面从 a转向 b, 那么通常这个螺丝(右手)前进的方向就是 a X b的方向。另一些记忆方法叫做“TIM”和“NED”,字母代表了等式拇指 X 食指  =  中指,如图中所示。或者用笛卡尔方向,  X   =  。(你可以相信这些记忆方法,但你也要让自己知道,右手 拇指  =  食指 X 中指 以及  =   X 

picture of unit vectors

    如果再看看单位向量的话,可以写出一些非常有用的等式,这会加深我们对这个结果的认识。

      |i X i|  =  1*1 sin 0  =  0.    所以:

      i X i  =  j X j  =  k X k =  0.

    对于这些向量的方向,我们可以看到:
      i X j  =  k,    j X k  =  i      以及     k X i  =  j,    
    但注意
      j X i  =  − k,    k X j  =  − i      以及     i X k  =  − j.    
    现在让我们更一般地考虑向量的叉乘,再用ab表示。很多时候,我们可以很简单地计算模 |a X b|  =  ab sin θ,方向则为右手系中垂直于 ab 的方向。但如果我们知道 ab的分量,那叉乘结果就可以很清楚地表示出来。(要注意,3个分量乘上3个分量的等式很长。)

      a X b  =  (ax i + ay j + az kX (bx i + by j + bz k)

      = (axbx) i X i + (ayby) j X j + (azbz) k X k
           + (axby) i X j + (aybz) j X k + (azbx) k X i
           + (aybx) j X i + (azby) k X j+ (axbz) i X k,      所以,合并简化后就有:
      a X b  = (axby − aybx)k + (aybz − azby)i + (azbx − axbz)j

    这个表达式是对称的,因而给了我们一个记忆它的简便方法,如果把这些符号写成下面的形式:
      ax    ay    az    ax

      bx    by    bz    bx

      i      j      k      i      j

    然后让上面两排中的元素对角线相乘再乘上一个第三排的元素。这里讨论的代数已经够多了!让我们来看看 Physclips上的转动章节,或者 电动机和发电机的部分,这些实例中需要用到向量积,这样我们就能知道它们在现实生活中是如何使用的。

    航海物理 中有些向量加减的有趣例子。

Creative Commons License This work is licensed under a Creative Commons License.